Пусть MK  =  x, SO  — вы­со­та. Тре­уголь­ни­ки SMO₁ и ASO по­доб­ны по двум углам, тогда

Имеем:

Тогда

Ответ: 54.

За­ме­тим, что A₁K  =  0,5A₁D₁. По­стро­им ис­ко­мое се­че­ние.

1)  Со­еди­ним точки К и М, так как они лежат в плос­ко­сти пе­ред­ней грани куба.

2)  Про­ве­дем линию, па­рал­лель­ную линии MN в в плос­ко­сти, со­дер­жа­щей верх­нюю грань куба. Эта линия будет де­лить ребра A₁B₁ и A₁C₁ по­по­лам.

3)  Про­ве­дем линию, па­рал­лель­ную КМ, ко­то­рая будет ле­жать на зад­ней грани куба. Эта линия делит ребро СС₁ по­по­лам

4)  Со­еди­ним все точки. По­лу­чив­ша­я­ся фи­гу­ра  — ше­сти­уголь­ник.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 5.

Пусть P и Q  — се­ре­ди­ны ребер BB₁ и CC₁, со­от­вет­ствен­но. Се­че­ни­ем сферы плос­ко­стью BPQ яв­ля­ет­ся окруж­ность, опи­сан­ная около этого тре­уголь­ни­ка, и, сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ни­ка BPQC, сле­до­ва­тель­но, точка C также лежит на сфере. Ана­ло­гич­но, для плос­ко­сти BCD₁, точка A₁ также лежит на сфере.

Центр сферы яв­ля­ет­ся точ­кой рав­но­уда­лен­ной от точек B, P, Q, C, сле­до­ва­тель­но, лежит на пря­мой про­хо­дя­щей через R  — центр че­ты­рех­уголь­ни­ка BPQC пер­пен­ди­ку­ляр­но к плос­ко­сти BPQC. Ана­ло­гич­но, для точек B, A₁, D₁, C, центр лежит на пря­мой про­хо­дя­щей через O  — центр че­ты­рех­уголь­ни­ка BA₁D₁C (центр куба) пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти BA₁D₁C. Обе эти пря­мые лежат в се­ре­дин­ном се­че­нии куба KLMN, где K, L, M, N  — се­ре­ди­ны ребер BC, B₁C₁, A₁D₁, AD, со­от­вет­ствен­но. Точка их пе­ре­се­че­ния Z  — центр сферы. Не­труд­но про­ве­рить, что она рав­но­уда­ле­на от всех из­вест­ных точек, ле­жа­щих на сфере. Най­дем квад­рат ра­ди­у­са сферы

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти сферы равна

Ответ: 336.

Обо­зна­чим вре­мен­но ребро куба за 5x, тогда За­ме­тим, что пря­мые MN, B₁C и A₁D па­рал­лель­ны, по­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от любой точки пря­мой B₁C до плос­ко­сти MNA₁D.

Пусть точка O  — се­ре­ди­на B₁C, точка H  — се­ре­ди­на MN и точка K  — се­ре­ди­на A₁D. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OT на пря­мую HK. Он пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой HK по по­стро­е­нию и лежит в плос­ко­сти BAD₁C₁, пер­пен­ди­ку­ляр­ной к пря­мой A₁D (так как от­рез­ки A₁D и AD₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны как диа­го­на­ли квад­ра­та, а от­ре­зок A₁D пер­пен­ди­ку­ля­рен ребру C₁D₁, по­сколь­ку ребро C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ADD₁A₁), зна­чит, пер­пен­ди­ку­ля­рен и A₁D, а по­то­му (по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти) и всей плос­ко­сти MNA₁D. Сле­до­ва­тель­но, его длина и есть нуж­ное рас­сто­я­ние.

Изоб­ра­зим от­дель­но плос­кость ABC₁D₁. По тео­ре­ме Фа­ле­са

от­ку­да

и

Далее, тогда

и

Зна­чит,

Ответ: 2124.

Пусть ребро куба равно 1. Вве­дем де­кар­то­вую си­сте­му ко­ор­ди­нат с цен­тром в точке B. Имеем: Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра

Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра

Най­дем ко­си­нус угла между век­то­ра­ми и

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ответ: 78.

1)  Не­вер­но. Пря­мая лежит в плос­ко­сти, если все точки пря­мой при­над­ле­жат плос­ко­сти.

2)  Верно. В точке B.

3)  Верно. Для того чтобы пря­мая ле­жа­ла в плос­ко­сти, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы две любые точки этой пря­мой при­над­ле­жа­ли этой плос­ко­сти. Точки B и D₁ лежат в этой плос­ко­сти.

4)  Не­вер­но. Они пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D₁.

5)  Верно. Диа­го­на­ли куба пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

6)  Не­вер­но.

Ответ: 235.